Entraîne-toi sur les nombres complexes

Des questions variées (module/argument, forme exponentielle, conjugué, produit, racines carrées) avec une correction détaillée pas-à-pas à chaque réponse.

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Thèmes à travailler

Module & argument Forme exponentielle Conjugué Produit Racines carrées

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Ce QCM te fait manipuler les nombres complexes : module, argument, forme exponentielle, conjugué, produit et racines carrées, avec une correction détaillée pas-à-pas à chaque réponse.

Définitions

Nombre complexe

z = a + bi avec a, b ∈ ℝ et i² = −1. a est la partie réelle, b la partie imaginaire.

Conjugué

z̄ = a − bi : on change le signe de la partie imaginaire.

Module

|z| = √(a² + b²), distance de z à l'origine dans le plan complexe.

Argument & forme exponentielle

Un angle θ tel que z = |z|(cos θ + i sin θ). On note z = r e^iθ.

Racines carrées

Les nombres w tels que w² = z ; il y en a exactement deux, opposées, si z ≠ 0.

Théorèmes & propriétés

Formule du produit

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Module et conjugué

z · z̄ = |z|² et |z̄| = |z|.

Forme exponentielle

r e^iθ · r' e^iθ' = rr' e^i(θ+θ') : les modules se multiplient, les arguments s'additionnent.

Formule de Moivre

(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

Astuces

L'argument principal est souvent choisi dans ]−π, π].
Pour les racines carrées, identifier parties réelle et imaginaire après élévation au carré.