Comprendre la convergence d'une suite
Observe les termes d'une suite et la définition formelle de la limite : pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, |un − L| < ε. Déplace le curseur ε pour voir la bande rétrécir et le rang N(ε) grandir !
1 → ε = 10⁻¹ | 8 → ε = 10⁻⁸
un
Limite L
Bande |un−L| < ε
Rang N(ε)
un
—
Limite L
—
|un − L|
—
N(ε) trouvé
—
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📖 Le point cours
Cet outil permet d'observer les termes d'une suite, sa limite L, et de manipuler la définition formelle de la convergence : en resserrant la bande (diminuer ε), il faut attendre un rang N(ε) plus grand pour que tous les termes suivants restent dans la bande.
Définitions
Suite réelle
Une suite (un) est une application de ℕ dans ℝ : chaque entier n a une image un.
Limite finie
(un) converge vers L si pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, |un − L| < ε.
Suite bornée
Il existe M > 0 tel que |un| ≤ M pour tout n.
Monotonie
Croissante si un+1 ≥ un, décroissante si un+1 ≤ un.
Théorèmes & propriétés
Unicité de la limite
Si une suite converge, sa limite est unique.
Théorème des gendarmes
Si vn ≤ un ≤ wn et vn, wn → L, alors un → L.
Monotonie bornée
Toute suite croissante majorée (resp. décroissante minorée) converge.
Limites usuelles
1/n → 0, qn → 0 si |q| < 1, √n → +∞.
Astuces
- Une suite convergente est bornée (la réciproque est fausse).
- Pour déterminer N(ε) en pratique, on résout |un − L| < ε selon n.
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